Question

为什么n重特征值最多对应n个线性无关的向量?

Answer 1

首先早知道特征向量怎么来的，易知k重特征值η对应线性无关特征向量个数ξ=n-r(ηE-A)，其中n是A方阵阶数，非方阵无特征值。对于方阵λE-A通过初等行列变换一定可化成
/ λ-λ1___a____b ... s \
| ______λ-λ2___c ... g |
| ______... ___________|
\ ______________λ-λn /(上三角)
所以k重特征根最多将还矩阵秩减少k，当矩阵中开头是λ-λs的这一排右边的数全为零时，将该矩阵的秩减少k，不全为零则减少秩数不足k，所以r(ηE-A)≥n-k，ξ=n-r(ηE-A)≤n-n+k＝k, 所以k重特征值η对应线性无关特征向量个数ξ小于等于k。

Answer 2

用数学归纳法
只有一个特征值时,因特征向量非0,所以无关.
设k-1个不同的特征值对应的特征向量无关
则k个时,作线性组合为0向量,此式记为1
两边左乘A即和特征值联系,此式记为2
1式两边乘第k个特征值,此式记为3
3-2即消去第k个特征向量,由归纳假设,k-1个特征向量无关,即得1式中的组合系数都为0
得证.