Question

收敛数列的性质极限的唯一性证明没看懂？

Answer 1

详解如下：

假设数列an收敛于实数A和实数B，其中A≠B，不妨假设A<B。那么对于任给的e，总存在N>0，使得对于任意的n≥N，总有

|an-A|<e

取e=(B-A)/2，那么对于任意的n≥N，必有

|an-A|<(B-A)/2

即A-(B-A)/2<an<A+(B-A)/2

即(3A-B)/2<an<(A+B)/2

因此

(3A-B)/2-B<an-B<(A+B)/2-B

即

3(A-B)/2<an-B<(A-B)/2

由于A<B，所以A-B<0

因此an-B<(A-B)/2<0对于任意的n≥N成立。

即|an-B|>|A-B|/2对于任意的n≥N成立。

因此存在一个e'=|A-B|/2>0，使得对于任意的N'>0，总会有更大的N''>N且N>N'，使得

对于任意的n≥N''，总是不满足|an-B|<e'。

根据数列极限的e-N定义法，数列an不收敛于B。

收敛简介：

收敛是一个经济学、数学名词，是研究函数的一个重要工具，是指会聚于一点，向某一值靠近。收敛类型有收敛数列、函数收敛、全局收敛、局部收敛。

绝对收敛，指的是不论条件如何，穷国比富国收敛更快。

条件收敛，指的是技术给定其他条件一样的话，人均产出低的国家，相对于人均产出高的国家，有着较高的人均产出增长率，一个国家的经济在远离均衡状态时，比接近均衡状态时，增长速度快。

Answer 2

假设数列an收敛于实数A和实数B，其中A≠B，不妨假设A<B。那么对于任给的e，总存在N>0，使得对于任意的n≥N，总有
|an-A|<e
取e=(B-A)/2，那么对于任意的n≥N，必有
|an-A|<(B-A)/2
即A-(B-A)/2<an<A+(B-A)/2
即(3A-B)/2<an<(A+B)/2
因此
(3A-B)/2-B<an-B<(A+B)/2-B
即
3(A-B)/2<an-B<(A-B)/2
由于A<B，所以A-B<0
因此an-B<(A-B)/2<0对于任意的n≥N成立。
即|an-B|>|A-B|/2对于任意的n≥N成立。
因此存在一个e'=|A-B|/2>0，使得对于任意的N'>0，总会有更大的N''>N且N>N'，使得
对于任意的n≥N''，总是不满足|an-B|<e'。
根据数列极限的e-N定义法，数列an不收敛于B。