Question

an+1=2an,已知的前n项和为Sn且a1=1,an+1=Sn,求an。这个算出来an要分

an+1=2an,已知的前n项和为Sn且a1=1,an+1=Sn,求an。这个算出来an要分n=1和n≠1,为什么会有两种？算出来什么时候要检验a1满不满足,什么时候又不检验？

Answer 1

解：
a(n+1)=S(n+1)-Sn=Sn
S(n+1)=2Sn
S(n+1)/Sn=2，为定值
S1=a1=1，数列{Sn}是以1为首项，2为公比的等比数列
Sn=1·2ⁿ⁻¹=2ⁿ⁻¹
n≥2时，an=Sn-S(n-1)=2ⁿ⁻¹-2ⁿ⁻²=2ⁿ⁻²
n=1时，2¹⁻²=½≠1，a1=1不满足表达式
数列{an}的通项公式为
an=1，(n=1)
2ⁿ⁻²，(n≥2)

追问

为什么算出来会有两种呢？

就像这个这两个有什么不同？

追答

像你提问的这类题目，由于a1是指定的，而给出的关系式中又有Sn，相互关系也是指定的，就极容易出现两种指定导致结果不一致的情况，也就是a1值不满足从关系式求出的通项公式。
因此，对于此类题目，直接将含有数列的项、前若干项和的关系式转化为数列某几项的关系式的方法是错误的（虽然有时候结果一致），而是采用先求{Sn}的通项公式，再求{an}不包括已经给出数列某一项(通常为首项)的通项公式，再对已知给出的项进行验证。
所以你提问时写出an+1=2an是错误的，不应该这样解。
你给出的图片，n≥3时，上下两个等式都成立。n=2时，下面一个等式已经不成立了。

Answer 2

a2²=S2+S1=a1+a2+a1=2a1+a2=2×1+a2=a2+2
a2²-a2-2=0
(a2+1)(a2-2)=0
a2=-1(舍去)或a2=2
a(n+1)²=S(n+1)+Sn
a(n+2)²=S(n+2)+S(n+1)
a(n+2)²-a(n+1)²=S(n+2)-Sn=a(n+2)+a(n+1)
[a(n+2)+a(n+1)][a(n+2)-a(n+1)]-[a(n+2)+a(n+1)]=0
[a(n+2)+a(n+1)][a(n+2)-a(n+1)-1]=0
数列是正项数列，a(n+2)+a(n+1)恒>0，因此只有a(n+2)-a(n+1)-1=0
a(n+2)-a(n+1)=1，为定值，又a2-a1=2-1=1，数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列。
an=1+1×(n-1)=n