Question

验证y1=e^(x²)及y2=xe^(x²)都是微分方程y''-4xy'+(4x²-2)y=0的解

Answer 1

1、y=e^x²是原方程的解

当 y=e^x² 时，可以得到：y′=e^x²·(x²)′=2xe^x²，y′′=2e^x²+2x·2xe^x²=2(1+2x²)e^x²

∴y"-4xy′+(4x²-2)y=2(1+2x²)e^x²-4x·2xe^x²+(4x²-2)e^x²

=(2+4x²-8x²+4x²-2)e^x²

=0·e^x²

=0      得到：y=e^x²是原方程的解。

2、y=xe^x²是方程的解

当y=xe^x²，则y′=e^x²+2x²e^x²=(1+2x²)e^x²

∴y′′=2xe^x²+2(y+xy′)=(4x³+6x)e^x²

于是：y″-4xy′+(4x²-2)y=(4x³+6x)e^x²-4ⅹ(1+2x²)e^x²+(4x²-2)·xe^x²

=(4x³+6x-4x-8x³+4x³-2ⅹ)e^x²

=0·e^x²

=0，得到：y=xe^x²是方程的解。

微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。

扩展资料：

微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。

数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。

Answer 2

(1)
y=e^x²时，有
y′=e^x²·(x²)′=2xe^x²，
y′′=2e^x²+2x·2xe^x²
=2(1+2x²)e^x²
∴y"-4xy′+(4x²-2)y
=2(1+2x²)e^x²-4x·2xe^x²+(4x²-2)e^x²
=(2+4x²-8x²+4x²-2)e^x²
=0·e^x²
=0
即y=e^x²是原方程的解。

(2)
y=xe^x²，则
y′=e^x²+2x²e^x²
=(1+2x²)e^x²
∴y′′=2xe^x²+2(y+xy′)
=(4x³+6x)e^x²
于是，
y″-4xy′+(4x²-2)y
=(4x³+6x)e^x²-4ⅹ(1+2x²)e^x²+(4x²-2)·xe^x²
=(4x³+6x-4x-8x³+4x³-2ⅹ)e^x²
=0·e^x²
=0，
即y=xe^x²也是方程的解。

Answer 3

我很佩服你能把这些数学符号打出来

Answer 4

求出一阶导数，再求出二阶导数，代入即可验证