Question

高数类试题，求详解。仅有一道基础题哦。

Answer 1

首先，cost^2是没有初等积分表达式的，职能使用泰勒展开式，而：
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!+...+(-1)^kx^2k/(2k)!+o(x(2k+2))
则cost^2=1-t^4/2!+x^8/4!+...+(-1)^kx^4k/(2k)!+o(x(4k+4))
带入∫cost^2dt (0→x)
则 =∫[1-t^4/2!+x^8/4!+...+(-1)^kx^4k/(2k)!+o(x(4k+4))]dt (0→x)
=t-t^5/(5*2!)+t^9/(9*4!)+...+(-1)^kt^(4k+1)/[(4k+1)*(2k)!]+o(t(4k+5))| (0,x)
=x-x^5/(5*2!)+x^9/(9*4!)+...+(-1)^kx^(4k+1)/[(4k+1)*(2k)!]+o(x(4k+5))
则x→0时，
x-x^5/(5*2!)+x^9/(9*4!)+...+(-1)^kx^(4k+1)/[(4k+1)*(2k)!]+o(x(4k+5))=0
所以，原式=0

Answer 2

变上限积分确定的函数必可导，也因此连续，
所以极限 = ∫[0，0] cost^2 dt = 0 .