Question

如何证明三点共线时两向量前得系数相加等于1

Answer 1

证明过程如下：

设A、B、C三点共线，O是平面内任一点。

因为A、B、C共线，所以存在非零实数k，使

AB=kAC

即 OB-OA=k(OC-OA)

所以 OB=kOC+(1-k)OA

[注：两个系数和 k+1-k=1]

反之，若存在实数x，y 满足 x+y=1，且OA=xOB+yOC

则 OA=xOB+(1-x)OC

OA-OC=x(OB-OC)

所以 CA=xCB

因此，向量CA与CB共线

又由于 CA、CB有公共点C

所以，A、B、C三点共线

扩展资料：

三点共线的证明方法：

方法一：取两点确立一条直线，计算该直线的解析式 .代入第三点坐标 看是否满足该解析式 （直线与方程）。

方法二：设三点为A、B、C .利用向量证明：λAB=AC（其中λ为非零实数）。

方法三：利用点差法求出AB斜率和AC斜率，相等即三点共线。

方法四：用梅涅劳斯定理。

方法五：利用几何中的公理“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”.可知：如果三点同属于两个相交的平面则三点共线。

方法六：运用公（定）理 “过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（垂直）”.其实就是同一法。

方法七：证明其夹角为180°。

方法八：设A B C ，证明△ABC面积为0。

方法九：帕普斯定理。

方法十：利用坐标证明。即证明x1y2=x2y1。

Answer 2

设A、B、C三点共线，O是平面内任一点。
因为A、B、C共线，所以存在非零实数k，使
AB=kAC
即 OB-OA=k(OC-OA)
所以 OB=kOC+(1-k)OA
[注：两个系数和 k+1-k=1]

反之，若存在实数x，y 满足 x+y=1，且OA=xOB+yOC
则 OA=xOB+(1-x)OC
OA-OC=x(OB-OC)
所以 CA=xCB
因此，向量CA与CB共线，
又由于 CA、CB有公共点C
所以，A、B、C三点共线

Answer 3

因为3点共线所以可得2向量平行，向量a//向量b，则a＝nb

Answer 4

若向量AD=xAB+(1-x)AC,x是实数，则
B,C,D三点共线，

Answer 5