Question

为什么要使矩阵A可以对角化，则要有r(E-A)=1

Answer 1

由于A与B为n阶相似矩阵，因此存在可逆矩阵P，满足B=P-1AP
∴①选项A．由于E-B=P-1（E-A）P，即矩阵E-B可以通过矩阵E-A施行初等变换得到，因此r（E-A）=r（E-B），故A正确；
②选项B．假如矩阵B可以对角化，即存在可逆矩阵Q，使得Q-1BQ=∧，其中∧为对角阵，则
存在可逆矩阵PQ，使得（PQ）-1A（PQ）=∧，即A也可以对角化
同理，若A可以对角化，则B也可以对角化
但若B不可以对角化，则A也不可以对角化
故B正确；
③选项C．由于|2E+B|=|P-1（2E+A）P|=|P-1|?|2E+A|?|P|=|2E+A|，故C正确；
④选项D．|B-λE|=|P-1AP-λP-1P|=|P-1|?|A-λE|?|P|=|A-λE|
即A与B具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值
但是，它们不一定有相同的特征向量（如果A=B，它们具有相同的特征向量）
故D错误