Question

这个第二型曲面积分做的对不对？错的话请指出，给出解题过程

这个第二型曲面积分做的对不对？错的话请指出，给出解题过程Σ是上侧，正方向应该是下侧，那么就是在高斯公式得出的三重积分前加个负号吗？补得面Σ1还是取正方向的上侧吗？或者两个全部都与正方向相反，这样在高斯公式得到的三重积分前统一加个负号就行？

Answer 1

首先明白第二类曲面积分的含义：这是为了计算通过闭曲面的流量。主要做法是利用高斯散度定理。这个定理说的是通过闭曲面的流量可以由整个封闭区域的散度来刻画。那么好了方向该如何确定，一般是从闭曲面朝外的法向量为正方向，再配合使用右手定则。
就这道题上侧是朝闭曲面（向闭曲面里面），故方向相反。计算的结果加个-号没问题。那么补的一个曲面（就是圆）在后面的计算过程中是应该要减去它的。而它的方向是反的，所以减负的变成了加,所以极坐标计算按0到2pi计算。
总结：一般是从闭曲面朝外的法向量为正方向。再配合法向量使用右手定则。补的曲面目的是让曲面封闭。所以结果要减去这个补的曲面积分。但是他是按照朝内（你这道题）所以是负的，减负的就变成了+。