Question

高中数学立体几何题目

高中数学立体几何题目不用空间坐标系用传统立体几何方法找出二面角做第二问

Answer 1

（I）EF⊥平面BCFG，EF⊥GH；

设BH=1，BG=2，AB=BC=CD=DA=CF=FE=DE=4

GF=√（4²+2²）=2√5

GH=√（1²+2²）=√5，

HF=√（4²+3²）=5

GH²+GF²=5+20=25=5²=HF²，HG⊥GF

GH⊥EF，GH⊥GF，∴GH⊥平面EFG

（II）

作CJ⊥FG，则GH∥CJ，△GHB∽△CFJ

CJ=4×2/√5=8/√5，FJ=CJ/2=4/√5

DF=4√2，DG=√（2²+4²×2）=6

GF=2√5

余弦定理，

cosDFG=（DF²+GF²-DG²）/2DF.GF

=（32+20-36）/（2×4√2×2√5）

=16/（16√10）

=1/√10

在平面DGF中过J作JK⊥GF，与DF交于K，连接CK

sin∠BFG=√（1-1/10）=3/√10

tan∠BFG=3

KJ=FJtan∠BFG=3FJ=3×4/√5=12/√5

FK=FJ/（1/√10）=√10×4/√5=4√2=FD，K、D重合！

KC=CD=4

角DJC就是DBG与BCFG二面角，

cos∠KJC=（KJ²+CJ²-CK²）/2KJ.CJ

=（144/5+64/5-16）/（2×12/√5×8/√5）

=128/192

=2/3

EFG与BCFG互相垂直，DGF与FEG、BCFG的二面角互为余角。

cos（D-FG-E）=sin∠KJC=√（1-4/9）=√5/3

Answer 2

用几何还是向量法？

追问

几何，不建立坐标系

追答

第二问,延长FG交CB延长线于P,连接PD,PE,则所求二面角为∠D-PF-E

易证PC=2BC=8,勾股定理得PD=PF=4√5
取DF中点O,连接OP,则OP⊥DF,勾股定理得OP=6√2
∴S△PDF=24

体积法得E到面PDF的距离d=8/3,∴E与面PDF所成角θ的正弦sinθ=d/PE=2/3√6
又sin∠EPF=EF/PE=1/√6

三正弦定理,sin∠D-PF-E=sinθ/sin∠EPF=2/3
由图像得二面角D-PF-E是锐角,∴cos∠D-PF-E=√5/3