Question

已知定义在R上的函数f (x)满足:f(x+y)=f(x)+f(y),当x<0时,f (x)<0

1,求证f (x)为奇函数
2,求证f (x)为R上的增函数

Answer 1

1.函数定义在R上，定义域关于原点对称。
因f(x+y)=f(x)+f(y)
则f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2*f(0)
故f(0)=0
f(-x)+f(x)=f(-x+x)=f(0)=0，
故f(-x)=-f(x)
故f(x)为奇函数
2.令x1<x2,已证为奇函数，
则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)
因当x<0时，f(x)<0,且x1-x2<0
故f(x1-x2)<0，即f(x1)-f(x2)<0,则f(x1)<f(x2)
故f(x)在R上为增函数

Answer 2

令x=y=0，得f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0,又令y=-x，得f(0)=f(x)+f(-x),所以f(x)是奇函数。
设x1<x2，则x1-x2<0,f
(x1-x2)<0,所以f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f
(x1-x2)<0,故f(x)是R上的单调递增函数。
所以原不等式可变为f(ax^2)+f(-2x)>f(a^2x)+f(-2a)
即f(ax^2-2x)>f(a^2x-2a)
，所以ax^2-2x>a^2x-2a，解此不等式即可。

Answer 3

f(0+0)=f(0)+f(0)
f(0)=0
f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0
f(-x)=-f(x)
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Answer 4

1楼回答正确