y’=（x²）’·1/（1+x）+x²·（1/（1+x））’
=2x/（1+x）+x²·（-1）·1/（1+x）²
=（x²+2x）/（1+x）²
1+x≠0，则x≠-1.当x=-2或0时，y’=0，为函数图像的极点。下面分类讨论：
①当x<-2时，y‘>0，故函数单调递增；
②当-2≤x<-1时，y‘<0，故函数单调递减；
③当-1<x≤0时，y‘<0，故函数单调递减；
③当x>0时，y’>0，故函数单调递增.
至于函数图像，请参照一楼回答中的图片，很标准。
扩展资料：
若两个变量x，y间的关系式可以表示为y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。
形如 y=k/x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。反比例函数的图象为双曲线。
当x<0时，由基本不等式可得：y≤-2√ab，当且仅当ax=b/x,即x=-√(b/a)时取等号。
故其顶点坐标为(-√(b/a)，-2√ab)，图象在(-∝，-√(b/a))上是单调递增，在(-√(b/a)，0)上是单调递减的。
当a<0，b<0 时可转化为a>0，b>0的情况，通常，作图时，x看做0。代入得y，也就是纵轴坐标(0，y)，有时，通过平移，把形如y=(ax+b)/(cx+d)也看成反比例函数。
参考资料来源：百度百科——函数图像
【解答】
y‘=（x²）’·1/（1+x）+x²·（1/（1+x））‘
=2x/（1+x）+x²·（-1）·1/（1+x）²
=（x²+2x）/（1+x）².
1+x≠0，则x≠-1.当x=-2或0时，y’=0，为函数图像的极点.下面分类讨论：
①当x<-2时，y‘>0，故函数单调递增；
②当-2≤x<-1时，y‘<0，故函数单调递减；
③当-1<x≤0时，y‘<0，故函数单调递减；
③当x>0时，y’>0，故函数单调递增.
至于函数图像，请参照一楼回答中的图片，很标准。
【注意】此题难点在于：
求导，(f(x)·g(x)）'＝f(x)'g(x)+f(x)g(x)'，求导公式需记忆。
分类讨论中②③两种不能合在一起，因为x≠-1。
关于画图象，一定要考虑特殊情况：x在-2，-1，0等位置时，函数应该怎么回事，另外，多选几个点，连线，描出最终图象即可。
另外，求函数的单调区间，只需要求一次导数即可。
导数out72
求过程
（-∞，1）单调减，（1，0】单调减，【0，∞）单调增
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