Question

设f(x)是R上的连续函数，并满足∫(0，x)f(x－t)e^－t dt＝x^2.求f(x)

Answer 1

∫(0->x)f(x-t).e^(-t) dt＝x^2
let
u=x-t
du=-dt
t=0, u=x
t=x, u=0
∫(0->x) f(x-t).e^(-t) dt
=∫(x->0) f(u).e^(u-x) (-du)
=∫(0->x) f(u).e^(u-x) du
=e^(-x). ∫(0->x) f(u).e^(u) du
=e^(-x). ∫(0->x) f(t).e^(t) du
//
∫(0->x)f(x-t).e^(-t) dt＝x^2
e^(-x). ∫(0->x) f(t).e^(t) du = x^2
两边取导数
e^(-x). f(x).e^(x) -e^(-x). ∫(0->x) f(t).e^(t) du = 2x
f(x) -x^2 = 2x
f(x) =x^2 +2x

Answer 2

南审的嘛，交个朋友，一起学数分

追问

原本便是故人，何须再言朋友