Question

高等数学曲面积分问题，答案已给出，倒数第二部怎么得出看不懂，求详细解释

倒数第二步中为什么变为-2，0dxdy是怎么化出来的
倒数第二步中∫∫∑1z²dydz+ydzdx+zdxdy为什么化为∫∫Dxy0dxdy，求解

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Answer 1

同学你好。首先，这道题用了高斯公式。-2的负号是因为∑+∑1取的是Ω的内侧，如果取的是Ω的外侧，当然就不用加负号了。那么这个2怎么算来的呢？就是用了高斯公式之后算出来的。z²dydz=0, ydzdx=1dy, zdxdy=1dz,所以∫∫z²dydz+ydzdx+zdxdy=∫∫∫2dxdydz=2∫∫∫dxdydz.
下来我给你说一下怎么记高斯公式里对谁求偏导。还是拿这道题为例，z²dydz这一项的“后缀”（姑且这么叫着）是dydz,唯独缺少dx,那么求偏导时就对缺的这一个积分变量求偏导，也就是给z²对x求偏导，求出来是0.
同理，对于ydzdx,“后缀”里面缺dy,所以是y对y求偏导，求出来就是1
，总之，“后缀”里面缺谁，我就对谁求偏导。

追问

后面的∫∫0dxdy是怎么得来的

追答

这是∫∫∑1这一项的积分结果。因为∑1是一个z=0的平面，所以，dz=0,再把z=0,dz=0代入这一项，就得到∫∫0dxdy了。