Question

线性代数简单题目求大神帮忙看一下

Answer 1

设特征值为λ
那么|A-λE|=
2-λ -1
-1 2-λ
=λ²-4λ+3=0
解得λ=1或3
于是A-E=
1 -1
-1 1 r2+r1
~
1 -1
0 0
得到特征向量(1，1)^T
A-3E=
-1 -1
-1 -1 r2-r1，r1*-1
~
1 1
0 0得到特征向量(1，-1)^T
求P将两个特征向量单位化即可，即为
(1/√2，1/√2
1/√2，-1/√2)^T

Answer 2

|λE-A| =
|λ-2 1|
|1 λ-2|
= (λ-2)^2 - 1 = (λ-1)(λ-3)
特征值 λ = 1， 3
对于 λ = 1， λE-A =
[-1 1]
[ 1 -1]
初等行变换为
[ 1 -1]
[ 0 0]
得特征向量 (1, 1)^T, 单位化为 (1/√2, 1/√2)^T;
对于 λ = 3， λE-A =
[ 1 1]
[ 1 1]
初等行变换为
[ 1 1]
[ 0 0]
得特征向量 (1, -1)^T, 单位化为 (1/√2, -1/√2)^T;
则正交矩阵 P =
[1/√2 1/√2]
[1/√2 -1/√2]
使得 P^TAP = ∧ = diag(1, 3)