Question

为什么不定积分的第一类换元法对中间函数的单调性没有要求？

第一类换元法和第二类本质上不是一个意思吗？第一类是凑微分，第二类是人工取中间函数。

Answer 1

实际上，对于不定积分与非反常积分，都应该考虑换元函数的单调性问题。因为从本质上说换元函数之间就是一对函数与反函数的关系，即x=x(t)与t=t(x)，这种关系本身就有单调性的约束，重要的是这种反函数关系在后续证明或计算步骤中均要用到。虽然在教材中没有明确提出，但我们还是可以在相关例题中见到一些端倪：
一是明确其转换的范围，例如令x=sin(t)时，我们限定t在[-π/2,π/2]内，保证了x=sin(t)是单调的；不过在求不定积分时的换元，其目的是求原函数，所以要换回来，抵消了或掩盖了其单调性的要求。
二是在利用换元法求积分（包括定积分）时，我们为了避免函数的多值性，人为地进行了分割区间处理，如当x>0时得出（1）结果，当x<0时得出（2）结果，x=0时得出（3）结果，最后分析是否可以合并成一个结果等；再如就是根据被积函数的特征，针对性地将定积分的区间分割成子区间，使每个子区间内的换元函数具有单调性。

Answer 2

这个单调性没有要求
第一类换元法和第二类积分不是一个类型的，第一个采用换元，而第二类积分没有换元，使用复合函数求导公式的逆运算

Answer 3

换元积分中其实需满足的是双射性质即反函数存在，只是定义域为连续区间时表现为单调（不定积分要求定义域内函数连续）。
第一类换元是g(x)=t，如果计算中使用到x=g-1(t)进行替换则必须双射，如果没有使用则无须双射；
第二类换元是x=g(t)，因为最后肯定会用t=g-1(x)代换，所以必须双射。

Answer 4

为什么要有要求呢？有要求的话又要有什么要求呢？