Question

微积分证明题

Answer 1

（1）对任意m∈[0,1]，(m,f(m)处的切线斜率为f'(m)
切线方程为y-f(m)=f'(m)(x-m)
即g(x)=f'(m)(x-m)+f(m)
令h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f'(m)x+mf'(m)-f(m)
h'(x)=f'(x)-f'(m)
h''(x)=f''(x)>0，因为h'(m)=0
所以(m,h(m))是h(x)的极小值点
因为h(m)=0，所以对任意x∈[0,1]，有h(x)>=h(m)=0
f(x)>=g(x)
（2）将f(x)在x=1/2点处泰勒展开
f(x)=f(1/2)+f'(1/2)*(x-1/2)+f''(ξ)/2*(x-1/2)^2，其中ξ介于x与1/2之间，x∈[0,1]
因为f''(ξ)>0，所以f(x)>=f(1/2)+f'(1/2)*(x-1/2)
因为0=∫(0,1)f(x)dx>∫(0,1) [f(1/2)+f'(1/2)*(x-1/2)]dx
=[f(1/2)-(1/2)*f'(1/2)]x+(1/2)*f'(1/2)x^2|(0,1)
=f(1/2)-(1/2)*f'(1/2)+(1/2)*f'(1/2)
=f(1/2)
即f(1/2)<0