微积分证明题
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(1)对任意m∈[0,1],(m,f(m)处的切线斜率为f'(m)
切线方程为y-f(m)=f'(m)(x-m)
即g(x)=f'(m)(x-m)+f(m)
令h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f'(m)x+mf'(m)-f(m)
h'(x)=f'(x)-f'(m)
h''(x)=f''(x)>0,因为h'(m)=0
所以(m,h(m))是h(x)的极小值点
因为h(m)=0,所以对任意x∈[0,1],有h(x)>=h(m)=0
f(x)>=g(x)
(2)将f(x)在x=1/2点处泰勒展开
f(x)=f(1/2)+f'(1/2)*(x-1/2)+f''(ξ)/2*(x-1/2)^2,其中ξ介于x与1/2之间,x∈[0,1]
因为f''(ξ)>0,所以f(x)>=f(1/2)+f'(1/2)*(x-1/2)
因为0=∫(0,1)f(x)dx>∫(0,1) [f(1/2)+f'(1/2)*(x-1/2)]dx
=[f(1/2)-(1/2)*f'(1/2)]x+(1/2)*f'(1/2)x^2|(0,1)
=f(1/2)-(1/2)*f'(1/2)+(1/2)*f'(1/2)
=f(1/2)
即f(1/2)<0
切线方程为y-f(m)=f'(m)(x-m)
即g(x)=f'(m)(x-m)+f(m)
令h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f'(m)x+mf'(m)-f(m)
h'(x)=f'(x)-f'(m)
h''(x)=f''(x)>0,因为h'(m)=0
所以(m,h(m))是h(x)的极小值点
因为h(m)=0,所以对任意x∈[0,1],有h(x)>=h(m)=0
f(x)>=g(x)
(2)将f(x)在x=1/2点处泰勒展开
f(x)=f(1/2)+f'(1/2)*(x-1/2)+f''(ξ)/2*(x-1/2)^2,其中ξ介于x与1/2之间,x∈[0,1]
因为f''(ξ)>0,所以f(x)>=f(1/2)+f'(1/2)*(x-1/2)
因为0=∫(0,1)f(x)dx>∫(0,1) [f(1/2)+f'(1/2)*(x-1/2)]dx
=[f(1/2)-(1/2)*f'(1/2)]x+(1/2)*f'(1/2)x^2|(0,1)
=f(1/2)-(1/2)*f'(1/2)+(1/2)*f'(1/2)
=f(1/2)
即f(1/2)<0
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