Question

高数中级数的敛散性？

高数中级数的敛散性？求解，希望步骤详细，答案最好能写在纸上，谢谢。

Answer 1

这是个交错级数
因为ln(1+1/n)随n的增大而递减
且lim(n→∞)ln(1+1/n)=ln1=0
故交错级数∑(-1)^n ln(1+1/n)收敛
但是|Un|=|(-1)^n ln(1+1/n)|=ln(1+1/n)
当n→∞时，ln(1+1/n)~1/n
因为∑1/n发散，故∑ln(1+1/n)发散
故由交错级数∑(-1)^n ln(1+1/n)收敛，∑ln(1+1/n)发散知，
∑(-1)^n ln(1+1/n)条件收敛

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

(n+1)/n = 1 + 1/n, (n+2)/(n+1) = 1+1/(n+1),
则 (n+1)/n > (n+2)/(n+1), ln[(n+1)/n] > ln[(n+2)/(n+1)]
lim<n→∞>ln[(n+1)/n] = 0, 故原交错级数收敛。
对应的正项级数
∑<n=1,∞>ln[(n+1)/n] = ∑<n=1,∞>[ln(n+1) - lnn]
= lim<n→∞>[ln2 - 0 + ln3 - ln2 + ln4 - ln3 + ...... + ln(n+1) - lnn]
= lim<n→∞>ln(n+1) = + ∞, 发散，则原交错级数条件收敛。

Answer 4

条件收敛，说下思路
n大时，ln(.)是无穷小，等价于1/n
（-1）^n 1/n收敛，但绝对发散。