Question

怎么证明分段函数在定义域内是连续的？

Answer 1

设x0为任意点，只要证明，lim(x-->x0-)f(x)=lim(x-->x0+)f(x)=f(x0) 即可，（左极限=右极限=函数值）。

证明在定义域的开区间任意一点x0有x→x0limf(x)=f(x0)，闭区间还需要证明在端点处单侧连续。

连续函数是指函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的。

又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。对于这种现象，因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。

反函数连续性：

f(x）是函数的符号（y），f代表法则，y它代表函数图象上每一个点的纵坐标的数值，因此函数图像上所有点的纵坐标构成一个集合，这个集合就是函数的值域。x是自变量，它代表着函数图象上每一点的横坐标，自变量的取值范围就是函数的定义域。

f是对应法则的代表，它可以由f(x）的解析式决定。例如：f(x)=x^2+1,f代表的是把自变量x先平方再加1。x2+1的取值范围（x2+1≥1）就是f(x)=x2+1的值域。

Answer 2

一般地，分段函数是由几个初等函数构成的，而初等函数在定义域的区间内是连续的。
所以证明分段函数的连续性，先说明这几段函数各自在定义域的区间上连续，再证明在分段点的连续性。后者是重点，也难点，必须用单侧极限理论严格证明。
亲，以简驭繁。举个简单的例子。
证明：分段函数f(x)的连续性。f(x)={x,x≥0；-x,x<0.
证明：显然y=x在（0，+∞）上是连续的，y=-x在（-∞，0）上是连续的.
下面证明f(x)在x=0处连续。
f(0+）=0，f（0-）=0,
而f(0)=0,得f(0+)=f(0-)=f(0),
所以f(x)在x=0处连续.
于是f(x)在定义域R上连续。