Question

高数 不定积分 求下列各项的原函数

Answer 1

。

Answer 2

1、∫xarcsinxdx=(1/2)∫arcsinxd(x²)
=(1/2)[x²arcsinx-∫x²d(arcisnx)]
=(1/2)x²arcsinx-(1/2)∫[x²/√(1-x²)]dx
=(1/2)x²arcsinx+(1/2)∫[(1-x²-1)/√(1-x²)]dx
=(1/2)x²arcsinx+(1/2)∫√(1-x²)dx-(1/2)∫[1/√(1-x²)]dx
=(1/2)x²arcsinx+(1/2)∫√(1-x²)dx-(1/2)arcsinx……………………①
对于∫√(1-x²)dx，令x=sinα，dx=d(sinα)=cosαdα
=∫cos²αdα=(1/2)∫(cos2α+1)dα=(1/2)∫cos2αdα+(1/2)α
=(1/4)sin2α+(1/2)α+C
=(1/2)sinαcosα+(1/2)α+C
=(1/2)·x·√(1-x²)+(1/2)arcsinx+C
代入①得到，原式=(1/2)x²arcsinx+(1/4)x·√(1-x²)-(1/4)arcsinx+C
2、∫x²e^(-x)dx=-∫x²d(e^-x)
=-[x²·e^(-x)-∫e^(-x)·2xdx]
=-x²·e^(-x)+2∫e^(-x)xdx
=-x²·e^(-x)-2∫xd(e^-x)
=-x²·e^(-x)-2[x·e^(-x)-∫e^(-x)dx]
=-x²·e^(-x)-2x·e^(-x)+2∫e^(-x)dx
=-x²·e^(-x)-2x·e^(-x)-2e^(-x)+C
=-(x²+2x+2)·e^(-x)+C
3、∫x²cos2xdx=(1/2)∫x²d(sin2x)
=(1/2)[x²·sin2x-∫sin2x·2xdx]
=(1/2)x²·sin2x-∫xsin2xdx
=(1/2)x²·sin2x+(1/2)∫xd(cos2x)
=(1/2)x²·sin2x+(1/2)[x·cos2x-∫cos2xdx]
=(1/2)x²·sin2x+(1/2)x·cos2x-(1/4)sin2x+C
4、已知e^(-x)是f(x)的一个原函数，则：e^(-x)=∫f(x)dx
则，f(x)=[e^(-x)]'=-e^(-x)
所以，∫xf(x)dx=-∫xe^(-x)dx=∫xd(e^-x)
=x·e^(-x)-∫e^(-x)dx
=x·e^(-x)+e^(-x)+C
=(x+1)·e^(-x)+C

Answer 3

如图