Question

证明A的行列式等于1。

设A是n（n大于2）阶非0实矩阵，Aij是A的元素aij的代数余子式，且aij=Aij，证明…证明|A|=1，就是证明A的行列式等于1。

Answer 1

条件相当于 A^T = adj(A)
那么 AA^T = A adj(A) = det(A)I
取行列式得 det(A)^2 = det(A)^n，所以 det(A)=0 或者 det(A)^{n-2} = 1
如果 det(A)=0，那么 rank(A)=n-1，rank(adj(A))=1，矛盾，故此 det(A)^{n-2} = 1
由于 AA^T 正定，所以 det(A)>0，从而 det(A)=1