Question

高等数学定积分

高等数学定积分设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则由曲线y=f（x）与直线x=a，x=b，及x轴围成图形的面积：底下图片的答案

原因是什么？

Answer 1

当 f(x) < 0 时，因 a < b, 则其定积分 ∫<a, b> f(x) < 0， 而其面积是 ∫<a, b>|f(x)| > 0.

追问

什么意思，那为什么不可以是-∫f（x）dx呢？

题目打错了，设曲线y=-f（x），在[a,b]上连续，则由曲线y=-f（x），直线x=a,x=b及x轴围成的面积A=

追答

也有可能 f(x) > 0 啊， 此时 -∫f（x）dx 就成了负的，岂不错误！
更改后的题目， 面积 A = ∫|-f(x)|dx = ∫|f(x)|dx

追问

可是题目本身就是y=-f（x），没懂你的意思？

追答

不论函数 g(x) 正负， 曲线 y = g(x) 与直线 x = a，x = b，及 x 轴围成图形的面积是
A = ∫|g(x)|dx，
令 g(x) = - f(x), 代入上式得
A = ∫|-f(x)|dx， 又 |-f(x)| = |f(x)|， 得 A = ∫|f(x)|dx

追问

积分的基本形式∫|g（x）|dx，g（x）就是应该要带绝对值？

追答

求定积分 g（x）不要带绝对值
求面积 g（x）要带绝对值

追问

好的理解了谢谢

Answer 2

f(x)有正负，面积无正负。所以取绝对值。

追问

没太懂你的意思

追答

sinx在一个周期的定积分是0
面积不是0

追问

所以呢？

追答

追问

题目打错了，设曲线y=-f（x），在[a,b]上连续，则由曲线y=-f（x），直线x=a,x=b及x轴围成的面积A=

答案还是这个，不过为什么还是选这个呢

Answer 3