Question

关于高数极限的问题，求大神解答

关于高数极限的问题，求大神解答例题2为什么不能第一步直接等价求极限，极限为1

Answer 1

可以用等价无穷小量替换求解，只需“等价”后保持有“变化”即可。本题中，∵x→0时，sinx=x-x³/6+O(x³)。∴sinx~x-x³/6
∴原式=lim(x→0)(sinx/x)^(1/x²)=lim(x→0)(1-x²/6)^(1/x²)=e^(-1/6)。
供参考。

追问

sinx＝x不是吗

追答

取前一项为sinx~x；取前二项为sinx~x-(1/6)x^3。
还可以视解题条件取更多的项。

追问

哪里有第二项

而且答案的1/6是正的不是负的

追答

是的，有误。不好意思，是将括号内的x/sinx看成了sinx/x了。
取sinx~x-(1/6)x^3，x/sinx~1/(1-x^2/6)=(1-x^2/6)^(-1)。可以得结果e^(1/6)。
参考参考吧。

追问

不懂sinx~x－（1-x2/6）怎么来的

sinx~x不是吗

追答

建议看下sinx在x=0处的泰勒展开式，取前n项(n=1,2,3……)，就明白了。sinx~x只是取了前一项而已；而且非”=”，而是”~”。