Question

如果一个函数的左右极限不一样，这个函数存在极限值吗？

Answer 1

函数的左极限：从一个地方(比如坐标轴)的左侧无限趋向于常数a所取的极限值(x→a-)，或者从0无限趋向于这个地方的左侧所取的极限值(x→∞-)，则称为函数的左极限。

函数的右极限：从一个地方(比如坐标轴)的右侧无限趋向于常数a所取的极限值(x→a+)，或者从0无限趋向于这个地方的右侧所取的极限值(x→∞+)，则称为函数的右极限。

如e^(1/x)，判断它在x→0时是否存在极限。

当x→0-时，lim[x→0-]e^(1/x)=0。

当x→0+时，lim[x→0+]e^(1/x)=∞。

此函数左右极限不相等，所以它关于x→0的极限不存在。

左极限与右极限

左极限与右极限只要有其中有一个极限不存在，则函数在该点极限不存在。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。

在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数的极限值。

洛必达法则是分式求极限的一种很好的方法，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。

洛必达法则：符合形式的分式的极限等于分式的分子分母同时求导。

Answer 2

1、如果是连续函数 （continuous function）那么，在定义域（domain）内的所有点的左右极限都是存在的。也就是，所有点的左极限、右极限，分别存在，并且相等。并且，这个极限值就是函数值。 . 2、如果是分段函数（piecewise function）在分段连续的区域内的所有点的左右极限都存在，极限值等于函数值。对于分段函数的间断点，就得分别考虑、分别计算。只要连续，左右极限就存在并相等；只要不连续，无论左右极限存在与否，整体而言的极限就不存在。 . 3、对于定义域的分界奇点（singularity），极限不存在。 .

Answer 3

极限是存在的，就是“左右极限”。左右极限不相等，是该点不连续，不是没有极限。