Question

求答题！判断函数f(x)=xsinx/1+x^2的有界性，要详细步骤，谢谢啦

Answer 1

如下：

这个函数定义域（-oo,+00)，在给定的任意a,b(a＜b）,f(x)在[a,b]区间内连续，肯定是有界的，所以只需判断两端极限就行，趋向于负无穷时，lim(xsinx)/(1+x²）=lim(sinx+xcosx)/(2x)=lim [(sinx)/（2x）+(cosx)/2]，lim[(sinx)/(2x)+(cosx)/2]≤-1/(2x)+1/2≤1/2+1/2=1，lim[(sinx)/(2x)+(cosx)/2]≥1/（2x）-1/2≥-1/2-1/2=-1。

趋向于正无穷时，lim[(sinx)/(2x)+(cosx)/2]≤1/（2x)+1/2≤1/2+1/2=1，lim[(sinx)/(2x)+(cosx)/2]≥-1/（2x)-1/2≥-1/2-1/2=-1，所以这个函数时有界的由于分母在x轴上没有零点，所以f(x)在任意有限区间上都连续，从而在任意的有限区间上都有界。所以只要证明当x→∞时f(x)收敛，那么根据函数收敛的局部有界性，得出f(x)在整个x轴上收敛。

函数的有界性定义：若存在两个常数m和M，使函数y=f(x),x∈D 满足m≤f(x)≤M,x∈D 。 则称函数y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。

Answer 2

是(xsinx)/(1+x²）吗
这个函数定义域（-oo,+00)

在给定的任意a,b(a＜b）,f(x)在[a,b]区间内连续，肯定是有界的
所以只需判断两端极限就行
趋向于负无穷时
lim(xsinx)/(1+x²）=lim(sinx+xcosx)/(2x)=lim [(sinx)/（2x）+(cosx)/2]
lim[(sinx)/(2x)+(cosx)/2]≤-1/(2x)+1/2≤1/2+1/2=1
lim[(sinx)/(2x)+(cosx)/2]≥1/（2x）-1/2≥-1/2-1/2=-1
趋向于正无穷时
lim[(sinx)/(2x)+(cosx)/2]≤1/（2x)+1/2≤1/2+1/2=1
lim[(sinx)/(2x)+(cosx)/2]≥-1/（2x)-1/2≥-1/2-1/2=-1
所以这个函数时有界的
判断的话还好点，放大或者缩小就行了，具体求极限是多少还困难一点

Answer 3

由于分母在x轴上没有零点，所以f(x)在任意有限区间上都连续，从而在任意的有限区间上都有界。所以只要证明当x→∞时f(x)收敛，那么根据函数收敛的局部有界性，得出f(x)在整个x轴上收敛。
求极限，还要我教你吗？

Answer 4

如图所示