Question

一道初二数学题，求大神解答！！！

在RT△ABC中，AB=8，BC=6，∠ABC=90°，D为AB边上一个动点，DE⊥CD交AC于E，求AE最大值

Answer 1

方法一：

提示：过点E作EF⊥AB于点F.可得△ABC∽△AFE，△EFD∽△DBC.再设BD＝x，根据相似比、方程等求出AE的长，再求最值.

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方法二：（较简洁）

如下图所示：

追问

我知道可以这么做，而且我之前就试过，但是这种方法非常麻烦，能不能再提供一个更简单的方法？

追答

我再想想

更新了答案

Answer 2

分别以BC,BA为x,y轴建立直角坐标系，则C(6,0),A(0,8),设D(0,d),0<d<8,则
CD的斜率=-d/6,
DE:y=6x/d+d①与AC:x/6+y/8=1交于E:
4x/3+6x/d+d=8,
(4/3+6/d)x=8-d,
xE=3d(8-d)/(4d+18),代入①，得
yE=18(8-d)/(4d+18)+d=(4d^2+144)/(4d+18),
所以AE^2=[3d(8-d)/(4d+18)]^2+[(4d^2+144)/(4d+18)-8]^2
=[3d(8-d)/(4d+18)]^2+[4d(d-8)/(4d+18)]^2
=25d^2(8-d)^2/(4d+18)^2,
所以w=AE=5d(8-d)/(4d+18),
w'=5[(8-2d)(2d+9)-2d(8-d)]/[2(2d+9)^2]
=-5[d^2+9d-36)/(2d+9)^2
所以d=3时w取最大值2.5，为所求。
解2 作EF⊥AB于F.易知AC=10,设BD=x,AE=y,则
AF=4y/5,EF=3y/5.
由△DEF∽△CDB得EF/DB=DF/CB,
即3y/(5x)=(8-x-4y/5)/6,
所以18y=40x-5x^2-4xy,
(4x+18)y=40x-5x^2,
y=(40x-5x^2)/(4x+18),
设y-k=[-5x^2+(40-4k)x-18k]/(4x+18),
由分子的判别式(40-4k)^2-360k=8(2k^2-85k+200)=0,0<k<10,得k=2.5,
于是y=2.5-5(x-3)^2/(4x+18),
所以x=3时y取最大值2.5.

Answer 3

小朋友，要自己做才行