Question

高中数学导数题，只求解第二小题，详细过程

只要第二小题，求解，要详细过程，最好写在纸上拍照上传，谢谢😀
闲人勿进啊啊啊啊，谢谢了😀

Answer 1

f(x)=2x-1/x+alnx x>0
f'(x)=2+1/x²+a/x=(2x²+ax+1)/x²
驻点：x₁=[-a-√(a²-8)]/4 x₂=[-a+√(a²-8)]/4
f(x₁)-f(x₂)=2(x₁-x₂)+1/x₂-1/x₁+aln(x₁/x₂)
=-√(a²-8)+(x₁-x₂)/x₁x₂+aln[-a-√(a²-8)/-a+√(a²-8)]
=-√(a²-8)-√(a²-8)+aln[a+√(a²-8)/√(a²-8)-a)]
=-2√(a²-8)+aln[8/(√(a²-8)-a)²]
=-2√(a²-8)+3aln2-2aln[√(a²-8)-a]
令f(a)=-2√(a²-8)+3aln2-2aln[√(a²-8)-a] a≤-5/√2
f'(a)=-2a/√(a²-8)+3ln2-2ln[√(a²-8)-a]-2a[(a/√(a²-8)-1]/[√(a²-8)-a]
=-2a/√(a²-8)+3ln2-2ln[√(a²-8)-a]-2[(a²-a√(a²-8)-8+8]/[a²-8-a√(a²-8)]
=-2a/√(a²-8)+3ln2-2ln[√(a²-8)-a]-2[1+8/[a²-8-a√(a²-8)]
=-2a/√(a²-8)-2ln[√(a²-8)-a]-16/[a²-8-a√(a²-8)]+3ln2-2
=-2ln[√(a²-8)-a]+2+3ln2-2
=-2ln[√(a²-8)-a]+3ln2<0
f(a)单调递减→f(a)≥f(-5/√2)=-2·3/√2-15ln2/√2+10/√2·ln[3/√2+5/√2]
=√2(-3-7.5ln2+5ln2^2.5)
=√2(5ln2-3)

Answer 2

(II)f'(x)=2+1/x^2+a/x=(2x^2+ax+1)/x^2=0,
所以2x^2+ax+1=0,
于是x1=[-a-√(a^2-8)]/4,x2=[-a+√(a^2-8)]/4,
x1x2=1/2,x1/x2=[a^2-4+a√(a^2-8)]/4,
f(x1)-f(x2)=2x1-1/x1+alnx1-(2x2-1/x2+alnx2)

=2(x1-x2)+(x1-x2)/(x1x2)+aln(x1/x2)
=-2√(a^2-8)+aln{[a^2-4+a√a^2-8)]/4},
a<=5/√2无法满足a^2-8>=0,估计有印刷错误。