Question

求1/根号(1-e^-2x) 的不定积分

Answer 1

let
e^(-x) = sinu
-e^(-x) dx = cosu du
dx= -cotu du
∫dx/√(1-e^(-2x) )
=∫-cotu du/ cosu
=-∫ cscu du
=-ln|cscu -cotu | + C
=-ln| e^x -√(1-e^(-2x) ) | + C

追问

为什么答案是 ln| e^x+√(e^(2x)-1 ) | + C

追答

做法不一样！
let
e^x = secu du
e^x dx = secu.tanu du
∫dx/√(1-e^(-2x) )
=∫e^x/√[e^(2x)-1 ] dx
=∫secu.tanu du/ tanu
=∫secu du
=ln|secu + tanu | + C
=ln|e^x +√(e^(2x)-1 ) | + C

追问

我也是算出 第一种 两个结果是一样的吗

追答

不好意思有点错,  cotu 有点错！

=-ln|cscu -cotu | + C
=-ln| e^x -√(e^(2x) -1 ) | + C

=ln| 1/[e^x -√(e^(2x) -1 ) ] | + C

=ln| e^x +√(e^(2x) -1 ) | + C

Answer 2

(1-e^(-2x) )=∫-cotu du/ cosu =-∫ cscu du =-ln|cscu -cotu | + C =-ln| e^x -√(1-e^(-2x) ) | + C ...