Question

高数一道题 麻烦看下？

如何理解题目的意思
为什么f⁽ⁿ⁾(x)=[f⁽ⁿ⁻¹⁾(x)]这个呢？

Answer 1

第一步就是求导的一个基本方法：链式求导法！对于一个函数的自变量又是另一个函数的时候，该方法非常有用。

针对你的疑问，见下图。

Answer 2

f(n)(x)=d/dx{f(n-1)(x)]
=1/{√[1+e^(-2x)]-e^(-x)}*{1/{2√[1+e^(-2x)]*[-2e^(-2x)]+e^(-x)}
=1/{√[1+e^(-2x)]-e^(-x)}*{-e^(-x)/√[e^(2x)+1]+e^(-x)}
=1/{√[e^(2x)+1]-1}*{√[e^(2x)+1]-1}/√[e^(2x)+1]
=1/√[e^(2x)+1],
所以f(n)(0)=1/√2=√2/2，为所求。
注：1/{2√[1+e^(-2x)]*[-2e^(-2x)]分子分母都乘以e^x,得-e^(-x)/√[e^(2x)+1]。
同理，得下一个等式。
可以吗？

Answer 3

f^(n)(x) 是对f(x) 求导 n 次
f^(n-1)(x) 是对f(x) 求导 （n-1） 次
=>f^(n)(x) = (f^(n-1)(x))'
f^(n)(x)
= { 1/(√[1+e^(-2x)] -e^(-x) )} .(√[1+e^(-2x)] -e^(-x) )'

= { 1/(√[1+e^(-2x)] -e^(-x) )} .[ -e^(-2x)/√[1+e^(-2x)] + e^(-x) ]
= { √[1+e^(-2x)] + e^(-x) ) } . [ -e^(-2x)/√[1+e^(-2x)] + e^(-x) ]
f^(n)(0)
=(√2 +1 ) . ( -1/√2 + 1 )
=(√2 +1 ) . ( -√2/2 + 1 )
=-1/2 +√2 -√2/2 +1
=1/2 +√2/2
=(1/2)(1+√2)

追问

为什么会是
f^(n)(x)= (f^(n-1)(x))' 不太懂这步

Answer 4

f^(n)(x) = [f^(n-1)(x)]' =【{-e^(-2x)/√[1+e^(-2x)]} + e^(-x)}】/ [√[1+e^(-2x)]-e^(-x)]
f^(n)(0) = (-1/√2 + 1)/(√2-1) = 1/√2

Answer 5

对数函数y=logax的导函数是y'=1/(lna*x)
它的导数是y''=-1/(lna*x^2)。