Question

Fourier级数

Answer 1

通常，一个连续可积函数能够展开为无穷三角级数的形式，Fourier级数就是最常用的三角级数。设函数f（x）的定义域为［0，L］且绝对可积，则可以展开为以下形式的Fourier级数。

（1）标准形式

地下水运动方程

其中

地下水运动方程

（2）偶函数形式

地下水运动方程

其中

地下水运动方程

（3）奇函数形式

地下水运动方程

其中

地下水运动方程

具体选择哪种展开式，可以根据函数f（x）在边界x＝0和x＝L上的性质来判断。对于任意二元函数f（x，t），如果x∈［0，L］时该函数绝对可积，可以展开为下述Fou－rier级数：

地下水运动方程

其中各个Fourier系数都是t的函数。也可以根据f（x，t）在边界x＝0和x＝L上的性质将其展开为奇函数或偶函数的形式。常见的情况是：

1）f（0，t）＝0，f（L，t）＝0，则展开为奇函数形式（3.31）。

2）

地下水运动方程

则展开为

地下水运动方程

其中

地下水运动方程

3）

地下水运动方程

则展开为

地下水运动方程

其中

地下水运动方程

4）

地下水运动方程

则展开为

地下水运动方程

其中

地下水运动方程

下面使用Fourier级数展开的方法来分析非稳定流定解问题。取f（x，t）为式（3.1）中的水头分布函数H（x，t），根据边界条件式（3.3）和式（3.4），可将其展开式为奇函数形式：

地下水运动方程

将其代入到式（3.1），有

地下水运动方程

这是关于B_n（t）的常微分方程，其解为

地下水运动方程

它和式（3.16）是一致的。因此

地下水运动方程

为了得到B_n（0），可把初始条件式（3.2）也展开为Fourier级数：

地下水运动方程

式中：c_n是初始水头分布函数的Fourier系数。式（3.44）在t＝0时应与式（3.45）相同，因此

地下水运动方程

这与式（3.25）得到的结果是一致的。

Answer 2

简单分析一下，详情如图所示