Question

心形线的面积，来一个高手，不求计算，只求分析

设r=4（1+cosθ），画图是关于极轴对称的，求面积A=2∫(0,8)ydx，这里0为下限，8为上限，上限8是令θ=0得到。 问题来了，下限为什么是0，画图能看出心形线在y轴的坐边还有一部分，这部分不算吗？
在y轴的左边还有一部分

Answer 1

用直角坐标作不是你写的那样，很麻烦；建议你用极坐标作，就不会有逆说的问题了。

公式：

心形线的面积S=(3/2)πa²；周长=8a；在本题中，a=4；

Answer 2

所围成的面积为2A。

心形线上下对称，A为上半部分面积，S（面积）=2A。

关于不定积分，将完全平方公式展开求原函数即可。

心形线围成的图形面积，计算方法如下：

心形线极坐标方程为ρ=a(1-sinθ)，

那么所围成的面积为：

S=2x(1/2)∫(-π/2->π/2) ρ²(θ)dθ

=∫(-π/2->π/2) a²(1-sinθ)²dθ

=3πa²/2

扩展资料：

极坐标方程

水平方向： ρ=a(1-cosθ) 或 ρ=a(1+cosθ) (a>0)

垂直方向： ρ=a(1-sinθ) 或 ρ=a(1+sinθ) (a>0)

直角坐标方程

心形线的平面直角坐标系方程表达式分别为 x^2+y^2+a*x=a*sqrt(x^2+y^2) 和 x^2+y^2-a*x=a*sqrt(x^2+y^2）

参数方程

x=a*(2*cos(t)-cos(2*t))y=a*(2*sin(t)-sin(2*t))

所围面积为3/2*PI*a^2，形成的弧长为8a。

参考资料来源：百度百科-心脏线

Answer 3

用极坐标来算，套下图的结论，可得面积为S=(3/2)πa²=6π