Question

请问这道题怎么解

Answer 1

I(n)=∫ (cosx)^n dx
=∫ (cosx)^(n-1) d(sinx)
=sinx(cosx)^(n-1) - ∫ sinx d((cosx)^(n-1))
=sinx(cosx)^(n-1) - ∫ sinx (n-1)(cosx)^(n-2) (-sinx) dx
=sinx(cosx)^(n-1) + (n-1)∫ sin²x (cosx)^(n-2) dx
=sinx(cosx)^(n-1) + (n-1)∫ (1-cos²x) (cosx)^(n-2) dx
=sinx(cosx)^(n-1) + (n-1)∫ (cosx)^(n-2) dx
- (n-1)∫ (cosx)^n dx
即I(n)=sinx(cosx)^(n-1) + (n-1) (I(n-2) - I(n))
故n I(n)=sinx(cosx)^(n-1) + (n-1) I(n-2)
则I(n)=sinx(cosx)^(n-1) /n + (n-1) I(n-2)/n
应该选择A

Answer 2

积分展开得A