Question

当x趋向于0时，limf(x)/x=1,且f‘’(x)>0,证明：f(x)>=x

Answer 1

当x趋向于0时
，lim
f(x)/x=1
由洛必达法则，对分子分母同时求导，
得到
当x趋向于0时
，lim
f(x)/x=1=f
'(x)
/1
所以f
'(0)=1，
令f(x)=f(x)
-x
显然f(0)=0
得到f'(x)=f
'(x)
-1
所以f'(0)=f
'(0)
-1=0，
而f
''(x)>0，即f
'(x)单调递增，
又f
'(0)=1，
所以x>0时，f
'(x)>0，
即f'(x)=f
'(x)
-1>0，
所以f(x)在大于0时单调递增
x<0时，f
'(x)<0，
即f'(x)=f
'(x)
-1<0，
所以f(x)在小于0时单调递减
即x=0时，f(x)=f(x)
-x取最小值
而f(0)=0，
所以f(x)恒大于等于0，
即f(x)>=x