Question

高等数学求旋转体体积

图一是我做的结果，后面是答案。想了好久想不明白为啥结果不一样。是不是我犯了什么原则错误

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Answer 1

有原则性的问题，不过不严重。
这里的t不是变量！不是变量！不是变量！重要的事情说三遍。这个t是出题者用来误导你的，t只是个普通的常数，你可以用F或者U或者C或者K替代t，避免被戏弄。
既然t不是变量，那么通过求导求出f(t)表达式就不对了，因为t是常数，对应的积分自然是定积分，而且不是变限积分。求导之后左右都为0。
你的其他做法没问题，只是f(x)的表达式并不是那么重要，不要去求它。

追问

也就是说在f(x)函数的定积分里把t当成常数，此时等式两边是一个简单的等式。而到了V(t)函数里，t就变成自变量了，可以对t求导。

追答

没错，就求出最终的体积之前，是不能求导的。最后可以求导，也只是因为V是关于t的一个表达式，求导也只是为了求出这个表达式。
或者说，最后一步的求导和这个题没有关系了。变成了一个新的题。
已知V(t)的带积分的表达式，求V(t)表达式。
你应该做过这种题吧,f(x)=x+sinx+∫(0,x)(x-t)f(t)dt。 没错，这个时候就相当于一道这样的题目了。