Question

求解下列非齐次线性方程组的通解

求解下列非齐次线性方程组的通解。
x1-x2+x3-x4=1
x1-x2-x3+x4=0
2x1-2x2-4x3+4x4=-1

Answer 1

4 个未知数， 3 个方程， 不能通过行列式用克莱姆法则解，只能用初等行变换法解之。

增广矩阵 [A, b] =

[1 -1 1 -1 1]

[1 -1 -1 1 0]

[2 -2 -4 4 -1]

初等行变换为

[1 -1 1 -1 1]

[0 0 -2 2 -1]

[0 0 -6 6 -3]

初等行变换为

[1 -1 0 0 1/2]

[0 0 1 -1 1/2]

[0 0 0 0 0]

r(A, b) = r(A) = 2 < 4, 方程组有无穷多解。

方程组化为

x1 = 1/2+x2

x3 = 1/2+x4

取 x2 = x 4 = 0， 得特解 (1/2, 0, 1/2, 0)^T

导出组是

x1 = x2

x3 = x4

取 x2 = 1， x 4 = 0， 得基础解系 (1, 1, 0, 0)^T；

取 x2 = 0， x 4 = 1， 得基础解系 (0, 0, 1, 1)^T

原方程组的通解是

x = k (1, 1, 0, 0)^T + c(0, 0, 1, 1)^T + (1/2, 0, 1/2, 0)^T

非齐次线性方程组Ax=b：

（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B)，则方程组无解。

（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。

（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于，即可写出含n-r个参数的通解

以上内容参考：百度百科-非齐次线性方程组

Answer 2

4 个未知数， 3 个方程， 不能通过行列式用克莱姆法则解，只能用初等行变换法解之。
增广矩阵 [A, b] =
[1 -1 1 -1 1]
[1 -1 -1 1 0]
[2 -2 -4 4 -1]
初等行变换为
[1 -1 1 -1 1]
[0 0 -2 2 -1]
[0 0 -6 6 -3]
初等行变换为
[1 -1 0 0 1/2]
[0 0 1 -1 1/2]
[0 0 0 0 0]
r(A, b) = r(A) = 2 < 4, 方程组有无穷多解。
方程组化为
x1 = 1/2+x2
x3 = 1/2+x4
取 x2 = x 4 = 0， 得特解 (1/2, 0, 1/2, 0)^T
导出组是
x1 = x2
x3 = x4
取 x2 = 1， x 4 = 0， 得基础解系 (1, 1, 0, 0)^T；
取 x2 = 0， x 4 = 1， 得基础解系 (0, 0, 1, 1)^T
原方程组的通解是
x = k (1, 1, 0, 0)^T + c(0, 0, 1, 1)^T + (1/2, 0, 1/2, 0)^T

Answer 3