Question

已知非空集合M真包含于N,并且满足条件“任意x∈M都有n-x∈M" 如果n≥2，那么满足条件的M共有几个？

Answer 1

N是自然数集{0,1,2,...}
那个条件说明M中的任一元素与它关于1对称的那个值都属于M
当n=2时，M可以是{1},{0,2},{0,1,2}共3个
推广到任一n≥2
（1）若n为偶数
M可取：
单元素集{n/2}
1个
2元素集{0,n},{1,n-1}...{(n/2)-1,(n/2)+1}，共n/2个
3元素集 {0,1,n},...{0,(n/2)-1,(n/2)+1}，共n/2个
4元素集（从n/2个2元素集中任取2个集合组成）共
组合数(n/2)
C
2
个
2k元素集
共组合数(n/2)
C
k个，k∈N*
2k+1元素集
共组合数(n/2)
C
k个，k∈N*
……
n+1元素集
共(n/2)
C
(n/2)=1个
加起来就是1+[(n/2)C1+...+(n/2)C(n/2)]*2=2^(n/2+1)-1
（2）若n为奇数
则M可取：
1元素集0个
2元素集{0,n}...{(n-1)/2,(n+1)/2}共(n+1)/2个
3元素集0个
2k元素集共
组合数
[(n+1)/2]
C
k个
2k+1元素集共0个
……
n+1元素集共
[(n+1)/2]
C[(n+1)/2]
=1个
故累加得
[(n+1)/2]
C1+...+[(n+1)/2]
C[(n+1)/2]=2^[(n+1)/2]-1个

综上所述
在n≥2时
当n为偶数时M有2^(n/2+1)-1个
当n为奇数时M有2^[(n+1)/2]-1个