Question

是不是只有可逆矩阵才可以表示成多个初等矩阵相乘？

Answer 1

是的.
a可逆的充分必要条件是a可以表示成有限个初等矩阵的乘积.

Answer 2

对方阵而言是对的.
若A可表示为初等矩阵的乘积
因为初等矩阵可逆
故A可逆.
反之,
若A可逆
则A等价于单位矩阵E
即
P1...PsAQ1...Qt
=
E
所以
A
=
Ps^-1...P1^-1Qt^-1...Q1^-1
而初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵
故A是初等矩阵的乘积