Question

f(n)=1+1/2+1/3+1/4...+1/n,求证f(2∧n)>n/2，n∈N+

Answer 1

f(n)=1+1/2+1/3+1/4...+1/n
f(2ⁿ)=1+1/2+1/3+1/4+......+1/(2ⁿ-1)+1/2ⁿ
用数学归纳法：
1º当n=1时，f(2)=1+1/2=3/2,n/2=1
f(2)>1,不等式成立
2º假设当n=k时，命题成立
即f(2^k)>k/2
即1+1/2+.....+1/2^k>k/2
那么当n=k+1时，
f(2^(k+1))=1+1/2+....+1/2^k+1/(2^k+1)+.....+1/(2^k+2^k)
>k/2+1/(2^k+1)+.....+1/(2^k+2^k)
∵1/(2^k+1)>1/2^k
1/(2^k+2)>1/2^k
.........................
【共2^k个不等式】
1/(2^k+2^k)>1/2^k
相加：
∴1/(2^k+1)+.....+1/(2^k+2^k)>1/2^k*2^k=1
∴k/2+1/(2^k+1)+.....+1/(2^k+2^k)>k/2+1>k/2+1/2=(k+1)/2
∴f(2^(k+1)>(k+1)/2
即当n=k+1时，原不等式成立
由1º2º可知对任意的n∈N+原不等式总成立。

Answer 2

n=2时，f(n-1)=f(2-1)=f(1)=1
f(n)-1=f(2)-1=(1+1/2)-1=1/2
所以
f(n-1)=g(n)[(f(n)-1]，1=g(2)*1/2，g(2)=2
假设
n=k
时，存在g(k)，使得
f(1)+f(2)+....+f(k-1)=g(k)[f(k)-1]
当
n=k+1
时，f(k+1)=1+1/2+....+1/k+1/(k+1)=f(k)+1/(k+1)
f(k)=f(k+1)-1/(k+1)
(f(1)+f(2)+....+f(k-1)+f(k))/[(f(k+1)-1]
=(g(k)[f(k)-1]+f(k))/(f(k)+1/(k+1)-1)
=[(g(k)+1)f(k)-g(k)]/[f(k)-k/(k+1)]
即存在自然数k的函数
g(k+1)=[(g(k)+1)f(k)-g(k)]/[f(k)-k/(k+1)]，使得
f(1)+f(2)+....+f(k)+f(k+1)=g(k+1)[f(k+1)-1]
成立
所以原命题成立