Question

已知向量AB=(3,1),AC=(-1,a),a∈R,(1)若D为BC中点,向量AD=(m,2),求a、m的值(2)若三角形ABC是直角三角形，

Answer 1

（1）解：向量BC=向量AC-向量AB=(-1,a)-(3,1)=(-4
,a-1)

因为：
D为BC中点，所以，
向量BD=向量BC/2=(-2
,(a-1)/2）

又因为：向量AD=向量AB+向量BD=(3
,1)+(-2
,(a-1)/2)=(m,2)

所以：3-2=m
,1+(a-1)/2=2

解之，
m=1
,
a=3

（2）解：由（1）得：向量BC=(-4
,a-1)

由题仅知三角形ABC是直角三角形
,
而未确定那个是直角，故将分三种情况讨论：

1、
当
AB⊥AC
，向量AB*向量AC=0

即：3×（-1）+1×a=0
,

所以，
a=3

2、
当
AB⊥BC
，向量AB*向量BC=0

即：3×（-4）+1×(a-1)=0
,

所以，
a=13

3、
当
AC⊥BC
，向量AC*向量BC=0

即：(-1)×（-4）+a×(a-1)=0
,

得方程：a^2-a+4=0
即：
(a-1/2)^2=-15/4<0
无实数根

所以，a
不存在

所以，
当
a=3
时
，三角形ABC是直角三角形且∠CAB=90°

或
当
a=13时
，三角形ABC是直角三角形且∠ABC=90°

解毕！