Question

求函数f(x,y)=x²+y²-2xy的极值，在线等！！高手们过来帮个忙！！

Answer 1

f'x(x,y)=4x³-2x-2y=0
f'y(x,y)=4y³-2y-2x=0
解上述方程组，得驻点（0,0）（1,1）（-1，-1）
a=f''xx(x,y)=12x²-2，b=f''xy(x,y)=-2，c=f''yy(x,y)=12y²-2
对于点（0,0），a=-2，b=-2，c=-2，b²-ac=0无法用极值存在的充分条件判断f(0,0)=0是否是极值。
在点（0,0）附近取两个点（0.1,0.1），（0.1，-0.1），f(0.1,0.1)<0，但是f(0.1,-0.1)>0，
则f(0,0)=0不是极值。
对于点（1,1），a=10，b=-2，c=10，b²-ac=-96<0，又a>0，则（1,1）是极小点，极小值为f(1,1)=-2
对于点（-1,-1），a=10，b=-2，c=10，b²-ac=-96<0，又a>0，则（-1,-1）也是极小点，极小值为f(-1,-1)=-2

Answer 2

解：f(x,y)=x²+y²-2xy=（x-y）^2
因为（x-y）^2≥0
所以f(x,y)=x²+y²-2xy=（x-y）^2≥0
所以f(x,y)=x²+y²-2xy存在最小值0，且此时x=y。