已知函数f(x)=x²-1/x-1 (x≠1)、a (x=1) 在x=1处连续,则a=??
3个回答
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解
(1)判断f(x)的奇偶性.
因为函数f(x)的定义域为(-∞,
∞),且
f(-x)=(a^(-x)-1)/(a^(-x)
1)=(1-a^x)/(1
a^x)
=-(a^x-1)/(a^x
1)=-f(x),
所以,f(x)是奇函数.
(2)求f(x)的值域.
因为0
1-2/(0
1)=-1,
f(x)=(a^x-1)/(a^x
1)=1-2/(a^x
1)<1,
因此,f(x)的值域为(-1,1).
(3)讨论f(x)的单调性.
(i)当a>1时
设x1,x2是(0,
∞)内的任意两点,且x1
0,
所以,f(x)在(0,
∞)内单调递减.
由(2)知,f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,0)内也单调递减.
因此,当a>1时,f(x)在(-∞,
∞)内单调递减.
(ii)当0
a^x2,于是
f(x1)-f(x2)=(1-a^x1)/(1
a^x1)-(1-a^x2)/(1
a^x2)
=[(1-a^x1)(1
a^x2)-(1-a^x2)(1
a^x1)]/[(1
a^x1)(1
a^x2)]
=2(a^x2-a^x1)/[(1
a^x1)(1
a^x2)]<0,
所以,f(x)在(0,
∞)内单调递增.
由(2)知,f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,0)内也单调递增.
因此,当0
1时,f(x)在(-∞,
∞)内单调递减.
(1)判断f(x)的奇偶性.
因为函数f(x)的定义域为(-∞,
∞),且
f(-x)=(a^(-x)-1)/(a^(-x)
1)=(1-a^x)/(1
a^x)
=-(a^x-1)/(a^x
1)=-f(x),
所以,f(x)是奇函数.
(2)求f(x)的值域.
因为0
1-2/(0
1)=-1,
f(x)=(a^x-1)/(a^x
1)=1-2/(a^x
1)<1,
因此,f(x)的值域为(-1,1).
(3)讨论f(x)的单调性.
(i)当a>1时
设x1,x2是(0,
∞)内的任意两点,且x1
0,
所以,f(x)在(0,
∞)内单调递减.
由(2)知,f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,0)内也单调递减.
因此,当a>1时,f(x)在(-∞,
∞)内单调递减.
(ii)当0
a^x2,于是
f(x1)-f(x2)=(1-a^x1)/(1
a^x1)-(1-a^x2)/(1
a^x2)
=[(1-a^x1)(1
a^x2)-(1-a^x2)(1
a^x1)]/[(1
a^x1)(1
a^x2)]
=2(a^x2-a^x1)/[(1
a^x1)(1
a^x2)]<0,
所以,f(x)在(0,
∞)内单调递增.
由(2)知,f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,0)内也单调递增.
因此,当0
1时,f(x)在(-∞,
∞)内单调递减.
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a=0,因为当x=1时函数f(x)无意义,所以函数f(x)不等于0,即a=0
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定义当x=1时,f(x)=x+1,可使这个分段函数连续
f(1)=1+1=2
故a=2
f(1)=1+1=2
故a=2
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