Question

求微分方程y′′+（y′）²=1满足y=|x=0=0，y′|x=0=0的特解。

Answer 1

解：∵特征方程是r²+r=0，则r1=0，r2=-1
∴齐次方程y"+y'=0的通解是y=c1+c2e^(-x)
(c1,c2是积分常数)
设原方程的一个解为y=ax²+bx
∵y'=2ax+b，y''=2a
代入原方程得2a+2ax+b=x
==>2ax+(2a+b)=x
==>2a=1,2a+b=0
==>a=1/2,b=-1
∴原方程的特解是y=x²/2-x
∴原方程的通解是y=c1+c2e^(-x)+x²/2-x
==>y'=-c2e^(-x)+x-1
∵y'(0)=1,y(0)=0
==>c1+c2=0,-c2-1=1
==>c1=2,c2=-2
∴y=2-2e^(-x)+x²/2-x
故原方程满足所给初始条件的特解是y=2-2e^(-x)+x²/2-x。