Question

一个函数可导，怎么证明它的导数连续

Answer 1

楼上二位的证明方法都有问题，以下才是严格的证明。
证明：用反证法，设
lim
(x趋于a)
f'(x)
=
L，就是要证
L
=
f'(a)，那么我们先假设L
>
f'(a)。
如此一来，取L'
=
(L+f'(a))
/
2
>
f'(a)，根据函数极限的定义，对于
epsilon
=
(L-f'(a))/2
>
0，存在一个x的邻域
delta(x)，使得在这个邻域内的任意一个x，都有，
|
f'(x)
-
L
|
<
epsilon,
推出
f'(x)
>
L
-
epsilon
=
L'。
然后考虑在a点导数的定义：
lim
(x趋于a)
[f(x)
-
f(a)]
/
(x-a)
=
f'(a)，
考虑闭区间
[a,x]
（或者
[x,a]，取决于从哪个方向趋近于a，不过无所谓的），由于函数在该闭区间上连续，在开区间
(a,x)上可导，故根据拉格朗日微分中值定理，存在
c
属于
(a,x)，使得
[f(x)
-
f(a)]
/
(x-a)
=
f'(c)，
接着，由于当x趋于a时，
c也是趋于a的，所以最终，c一定会进入到刚才所说的x的邻域
delta(x)（注意我的epsilon
和邻域都已经取定了，对于固定的一个区间，只要c充分接近a，就一定会进入到这个区间），到那个时候，就总是有
f'(c)
>
L'，这样一来，当c趋于a时，由于函数极限的保号性，就有
f'(a)
>=
L'
>
f'(a)，这显然是一个矛盾。
同理，你也可以证明，当L
<
f'(a)时也会出现矛盾，L'的取法还是一样，
epsilon
你取
(f'(a)
-
L)/2即可。保证可以证的出来，不是一楼说的有问题。
还有问题可以追问。

Answer 2

f
可导，则
f
连续
a点有极限，则点a处f可导，且存在二阶导数（
二阶导大于零，a为极小值；二阶导小于零，a为极大值
）
二阶导数存在，则a点的导数可导
所以f的导函数在a点处连续
连续不一定可导，可导一定连续
这是定理
就是这么证明的

Answer 3

类似于导数极限定理：
（1）在[a,x1]点a
的右邻域应用拉格朗日中值定理：
存在ξn使：
f(x)-f(a)/x-a=f'(ξn)
由于函数
f
可导，且f的导数在a点有极限，
所以：两边令x→a+取极限，并注意（a<ξn
f'(ξn)
(*)
(2)
应用海涅定理：由于（*）可知：
存在一个点列：{ξn}满足：ξn→a+
且：f'(ξn)→f'(a)
则由充要条件可知：当x→a+时，有f'(x)→f'(a)
同理，在[x2,a]上，可证明：
当x→a-时，有f'(x)→f'(a)
所以：lim
f'(x)=f'(a).