Question

如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，(1)求证AG*GO=HG*GD

Answer 1

(1)∵∠AHG=90°=∠DOG,(菱形的对角线互相垂直平分).
∠AGH=∠DGO,(对顶角相等).
∴△AHG∽△DOG,(有一组锐角相等的两个直角三角形,相似).
∴AG/HG=GD/GO,(相似三角形的对应边成比例)
∴
AG×GO=HG×GD
.(等量交换)
(2)∵AB=AD,(菱形的边长相等).∠ABD=∠ABC/2=120°/2=60°,(菱形的对角线平分内角)
∴△ABD是等边三角形,(有一个60度角的等腰三角形是等边三角形).
∴AO=DH=[(√3)/2]AB=[(√3)/2]×6=3√3.(等边三角形三边上的高相等),(等边三角形底边上的高,等于底边的二分之根号3倍).
∴
OG
=AO/3
=√3
,(重心位于中线的三分之二处).
请采纳,谢谢.

Answer 2

考点：菱形的性质．专题：证明题．分析：根据菱形的对角线互相平分可得OD=OB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=OB，然后根据等边对等角求出∠OHB=∠OBH，根据两直线平行，内错角相等求出∠OBH=∠ODC，然后根据等角的余角相等证明即可．解答：证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OD=OB，∠COD=90°，∵DH⊥AB，∴OH=OB，∴∠OHB=∠OBH，又∵AB∥CD，∴∠OBH=∠ODC，在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO=90°，在Rt△GHB中，∠DHO+∠OHB=90°，∴∠DHO=∠DCO．点评：本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及等角的余角相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关键．