Question

已知a,b,c属于正实数,且a+b+c=1,求证1/a+1/b+1/c大于等于9

Answer 1

1.已知a,b,c属于正实数,求证bc/a+ac/b+ab/c大于等于a+b+c.
bc/a+ac/b+ab/c≥a+b+c.
将上式两边同时乘以2，那么
2bc/a+2ac/b+2ab/c≥2a+2b+2c.
由已知ab≤[（a+b）/2]^2,可以得出a^2+b^2≥2ab
所以bc/a+ac/b≥2c
bc/a+ab/c≥2b
ac/b+ab/c≥2a
将以上三式相加，即可得到结论，所以得证
2.已知a,b,c属于正实数,且a+b+c=1,求证1/a+1/b+1/c大于等于9
1/a+1/b+1/c
=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=1+(b+c)/a+1(a+c)/b+1(a+b)/c
=3+b/c+c/b+a/c+c/a+a/b+b/a
（由于b/a+a/b>=2，c/a+a/c>=2，c/b+b/c>=2）
>=3+2+2+2
=9