Question

高等数学函数极值问题

Answer 1

方法如下：
对f(x,y)分别关于x和y求一阶偏导，得f'x和f'y，令f'x=0
f'y=0，得到一个二元方程组，解出所有驻点(x0,y0)（可能不止一个）
对f(x,y)求二阶偏导，得f'xx
f'yy和f'xy，令A=f'xx(x0,y0)
B=f'xy(x0,y0)
C=f'yy(x0,y0)
当AC-B^2>0时，A>0则f(x0,y0)为最小值，A<0则f(x0,y0)为最大值
当AC-B^2<0时，f(x,y)没有极值
当AC-B^2=0时，不能确定是否存在极值，需要另作判断
f'x=e^(x/2)+1/2*(x+y^2)e^(x/2)=[1+(x+y^2)/2]e^(x/2)=0
f'y=2ye^(x/2)=0
得到驻点x0=-2
y0=0
f'xx=1/2*e^(x/2)+1/2*[1+(x+y^2)/2]e^(x/2)=1/2*e^(x/2)*[2+(x+y^2)/2]
f'xy=ye^(x/2)
f'yy=2e^(x/2)
A=f'xx(x0,y0)=1/2e
B=0
C=2/e
AC-B^2=1/e^2>0，所以原函数有极值
因为A>0，f(-2,0)=-2/e为极小值

Answer 2

首先D是A的子集，所以选D对A也肯定是对的，所以选A更保险，
其次不一定F''(x)<0,例如F(x)
=
-x^4,在x
=
0
处取极大值，但是F''(0)
=
0
希望有所帮助