Question

f（x)=x+1/x,求函数的单调区间

Answer 1

解：
(1)对其求导得：f'(x)=1/(x
1)-1（x>-1）.令其等于0，得x=0或-1（舍）。当-1<x<0时，f（x）递增。当x>0时，f(x)递减。
（2）先证1-1/(x
1)<=ln(x
1）令g（x）=ln（x
1）-1
1/(x
1)
求导得：
g‘（x）=1/（x
1）-1/（x
1）^2=x/(x
1)^2
-1<x<0时，g'（x）<0;g（x）递减，所以g（x）>=g（0）=0
即ln（x
1）-1
1/(x
1)
>0
故1-1/(x
1)<=ln(x
1)
同理：x>0时，g'（x）>0,g（x）递增；g（x）>=g（0）=0，于是1-1/(x
1)<=ln(x
1)
因此1-1/(x
1)<=ln(x
1)
x>-1
证ln(x
1)<=x，同样，令h（x）=x-ln(x
1)
h’（x）=1-1/（x
1）
-1<x<=0,h’（x）<0,h(x）递减，h（x）>=h（0）=0
,即x-ln(x
1)>0所以x>=ln(x
1)
x>0时，h’（x）>0;h(x）递增，h（x）>=h（0）=0
,即x-ln(x
1)>0所以x>=ln(x
1)
因此x>-1,x>=ln(x
1)
综上所述，1-1/(x
1)<=ln(x
1)<=x
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