Question

数学：点P在直线2x+y+10=0上，PA，PB与圆x方+y方=4相切于A,B两点，四边形PAOB面积的最小值为？

Answer 1

四边形的面积等于
2×OA×PA/2
=
OA×PA
=
2|PA|
因为|PA|²=|PO|²-4
所以PA最小时，要求PO最小，
O到直线的垂线段距离就是PO的最小值，等于10/√5=2√5
所以|PA|最小等于
4
所求四边形的面积最小就是
8

Answer 2

直角三角形OPA全等于直角三角形OPB
四边形PAOB面积最小,
即直角三角形OPA(或OPB)最小即可
因为OA是半径,OA=2
只要另一直角边PA最小,
也只要斜边OP最小即可
因为P在直线2x+3y+10=0上
所以当OP垂直直线2x+3y+10=0时,OP最小,即点O到直线2x+3y+10=0的距离
最小OP=|2*0+3*0+10|/√(2^2+3^2)=10/√13
因为半径OA=2,且OA垂直PA
所以PA=√(OP^2-OA^2)=4√(3/13)
所以三角形OPA的面积=PA*OA/2=4√(3/13)
*
2/2=4√(3/13)
所以四边形PAOB的面积S的最小值=2倍的三角形OPA的面积=2*4√(3/13)=8√(3/13)
8倍的根号13分之3