Question

已知a,b,c是三角形ABC的边长，求证：关于x的方程b^2x^2+(b^2+c^2-a^2)x+c^2=0没有实数根

Answer 1

证法1：韦达定理加三角形常识
b^2x^2+(b^2+c^2-a^2)x+c^2=0
△=(b^2+c^2-a^2)^2-4b^2c^2=(b^2+c^2-a^2+2bc)(b^2+c^2-a^2-2bc)
=[(b+c)^2-a^2][(b-c)^2-a^2]
由于a,b,c是三角形ABC的边长
故(b+c)＞a＞0
0＜|b-c|＜a
故(b+c)^2＞a^2
(b-c)^2＜a^2
故(b+c)^2-a^2＜0
(b-c)^2-a^2＜0
故△=[(b+c)^2-a^2][(b-c)^2-a^2]＜0
故关于x的方程b^2x^2+(b^2+c^2-a^2)x+c^2=0没有实数解
证法2：构造函数（如果二次函数图像定点在x轴以上，且开口向上，那么函数与x轴无交点，即方程无实根）
令f(x)=b^2x^2+(b^2+c^2-a^2)x+c^2
顶点y坐标=[4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2]/4b^2
讨论分子
4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2
=[(b+c)^2-a^2][a^2-(b-c)^2]
显然
b+c>a,(b+c)^2-a^2>0
b-c<a,a^2-(b-c)^2>0
所以顶点y坐标大于0,开口向上在x轴上方，即函数图像与x轴无交点
故方程b^2x^2+(b^2+c^2-a^2)x+c^2=0没有实数根。