Question

设3阶矩阵A的特征值为1,-1,0,对应的特征向量分别为x1,x2,x3

Answer 1

由于属于不同符的特征向量正交
所以属于特征值1的特征向量满足
x2+x3=0
解得
a2=(1,0,0)^t,
a2=(0,1,-1)^t
令
p
=
(b,a1,a2)=
0
1
0
1
0
1
1
0
-1
则
p
可逆,
且
p^-1ap
=
diag(-1,1,1)
所以
a
=
pdiag(-1,1,1)p^-1
=
1
0
0
0
0
-1
0
-1
0

Answer 2

特征向量仍是对应的
x1,x2,x3设
Aα
=
λα则
Bα
=
(A^2-2A+3I)α
=
A^2α-2Aα+3Iα
=
λ^2α
-2λα
+
3α
=
(λ^2
-2λ
+
3)α所以
α
仍是B的属于特征值
λ^2
-2λ
+
3
的特征向量