Question

设随机变量X服从参数为0.5的指数分布，求E(√X)(主要是不会算积分，答案

Answer 1

解：分享一种解法，利用伽玛函数【Γ(x)】求解。
　　∵X~Exp(0.5)，∴f(x)=0.5e^(-0.5x)，x∈[0,∞)。再设x=2t，则dx=2dt，
　　∴E(√x)=∫(0,∞)√xf(x)dx=0.5∫(0,∞)√xe^(-0.5x)dx=(√2)∫(0,∞)√te^(-t)dt=(√2)∫(0,∞)t^(3/2-1)e^(-t)dt。
　　按照Γ(x)的定义，Γ(x)=∫(0,∞)t^(x-1)e^(-t)dt（x>0），且Γ(1+x)=xΓ(x)，Γ(1/2)=√π，
　　∴E(√x)=(√2)Γ(3/2)=(√2/2)Γ(1/2)=(1/2)√(2π)。
　　供参考。

Answer 2

解：
因为随机变量x服从参数为1的指数分布，所以
f(x)=e^(-x)(x>0时)
而f(x)=0(x<=0时)
e（x+e^(-2x))
=e(x)+e（e^(-2x))[令g(x)=e^(-2x)]
=1+∫f(x)g(x)dx(0到无穷大积分)
=1+∫e^(-3x)dx
=4/3
其他回答：
e(x)=(0到正无穷大)积分[xe^(-x)]=(0到正无穷大)积分[e^(-x)]=1
(用分部积分法)
再求e(e^(-2x))=(0到正无穷大)积分[e^(-x)*e^(-2x)]
=(0到正无穷大)积分[e^(-3x)]=1/3.
故:e(x+e^(-2x))=1+1/3=4/3.